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按底层思维挑题
不同章节，可能是同一种思维
有一列按一定顺序和规律排列的数： 第$1$个数是$ \dfrac{1}{1×2} $；第$2$个数是$ \dfrac{1}{2×3} $；第$3$个数是$ \dfrac{1}{3×4} ……$对任何正整数$n$，第$n$个数与第$(n+1)$个数的和等于$ \dfrac{2}{n(n+2)} $． (1)经过探究，我们发现：$ \dfrac{1}{1×2}= \dfrac{1}{1}- \dfrac{1}{2} $，$ \dfrac{1}{2×3}= \dfrac{1}{2}- \dfrac{1}{3} $，$ \dfrac{1}{3×4}= \dfrac{1}{3}- \dfrac{1}{4} $，设这列数的第$5$个数为$a$，那么$a > \dfrac{1}{5}- \dfrac{1}{6} $，$a= \dfrac{1}{5}- \dfrac{1}{6} $，$a < \dfrac{1}{5}- \dfrac{1}{6} $，哪个正确？请你直接写出正确的结论； (2)请你观察第$1$个数、第$2$个数、第$3$个数，猜想这列数的第$n$个数$($即用正整数$n$表示第$n$个数$)$，并且证明你的猜想满足“第$n$个数与第$(n+1)$个数的和等于$ \dfrac{2}{n(n+2)} $”； (3)设$M$表示$ \dfrac{1}{{1}^{2}} $，$ \dfrac{1}{{2}^{2}} $，$ \dfrac{1}{{3}^{2}} $，$…$，$ \dfrac{1}{{2016}^{2}} $。这$2016$个数的和，即$M= \dfrac{1}{{1}^{2}}+ \dfrac{1}{{2}^{2}}+ \dfrac{1}{{3}^{2}}+…+ \dfrac{1}{{2016}^{2}} $，求证：$ \dfrac{2016}{2017} < M < \dfrac{4031}{2016} $．